Hello!
ハクナマタタ村一世です。今回は受験勉強やTOEIC, TOFELなどで頭に入れた英単語・フレーズなのに、なぜか使い方が良く分かっていなかった！というものを紹介したいと思います。
超個人目線で書いているので、他の方にとってはどうかわかりません・・・。
be eligible for～：～の資格がある
「～の資格がある」って冷静に考えるとそれだけで使い方を正確に理解できないですよね。資格ってそれこそ英検、漢検とか、医師免許とかそういう話なのか、と。実は違います。
日本語でより正確に言うなら「条件を満たしているので～の対象（資格を行使するかしないかはあなた次第）」です。
Customers who’ve banked with us for at least one year are eligible for this credit card.：当行（当銀行）に1年以上預金されているお客様にはこのクレジットカードの利用資格があります。
大学三年生以上は留学対象です、とか〇〇に住んでいるので抽選の参加資格あります、とか・・・。
条件満たしていてそれをやる権利は持っています（やるかやらないかはあなた次第）って時に使えます。
persist：持続する
受験勉強で「持続する」って覚えましたけど、そもそも「持続する」って日本語あんまり使わないですよね。
たしかに「持続する」で意味は合っているんですけど、日本語で覚えるよりは英語で書かれた文章中でどう使われるかを知っておくと応用がきくようになります。
If the plumbing problem persists, we recommend that you contact the customer service. ：配管設備の問題が起こり続けるようでしたら、お客様サービスに連絡することをお勧めいたします。
この例を覚えておくと、persistの使い方が理解できると思います。